数学试卷整体分析
2021年高考数学北京卷落实立德树人根本任务，加强关键能力和素养的考查，通过“入口易、口径宽，深入缓、出口难”做好文理合卷，形成“一个中心，三个基本点，五条路径”的评价体系。即以立德树人为中心；以知识思想、能力素养、应用文化为三个基本点；以优化试卷结构、精选试题素材、科学设计试题内容、创新试题设问方式、凸显试题发展功能为五条实施的路径。
以立德树人为命题的中心
北京卷命题以立德树人为根本，突出试题的育人价值。如第15题关注现实生活中的环境污染问题，引导学生关注民生，树立有责任的公民意识。
北京卷继续坚持对“四具备”人才的考查。如第9题，考查的是三角函数的知识，需要细致的观察、严谨的推理和高度概括整合，找出角与三角函数值之间的关系；第20题的第（2）问，需要学生在计算过程中，一丝不苟，严谨求实的精神。
总之，北京卷通过设置不同的问题情境，体现高考的育人功能。
●以知识思想、能力素养、应用文化为命题的三个基本点
数学是自然科学的基础，也是重大技术创新发展的基础；而数学实力往往影响着国家实力。北京卷以知识思想、能力素养和应用文化为命题的三个基本点，力图把学生的数学真实实力考出来。
01
突出对主干知识和重要思想的考查
北京卷突出考查主干知识内容，强调通性通法。如对集合、复数、向量、函数、三角函数、立体几何、解三角形、统计与概率、函数与导数、圆锥曲线等主要板块的主干内容进行重点考查，充分体现了对数学知识考查的基础性、全面性和综合性。
数学基本思想方法是数学知识在更高层次的抽象与概括。北京卷第5、6、10、15题考查数形结合的思想；第8、19题考查函数与方程的思想；第10、13、16、21题考查化归与转化思想；第18题考查或然与必然的思想；第19、21题考查分类与整合的思想。
02
突出对数学关键能力和
数学学科素养的考查
北京卷突出对数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大素养的综合考查。
如第15题污水治理问题，主要考查学生的抽象概括、直观想象能力。第18题是考查学生数据分析和数学建模的素养。北京卷设计现实性和综合性问题，在现实情境中考查学生核心素养的发展水平。
03
突出对数学应用和文化的考查
北京卷突出对数学应用和文化的考查。数学应用考查方面，北京卷关注社会，关注学生发展，引导学生运用所学数学知识解决生活实际问题。如第15题，选取具有时代特色的环境治理为情境创设数学问题，考查学生身边的数学；第18题考查概率统计知识在数学和生活中的应用，使学生体会到数学知识与现实生活息息相关。
北京卷进一步加强数学文化的考查，增强文化性。如第10题关注无理数的两种计算方法：中国传统的“割圆术”和数学家阿尔·卡西的求解方法。既弘扬了中国传统文化，又引导学生学习世界辉煌灿烂的数学文化。
●助力文理合卷新高考落地的五条路径
根据考试内容要求、考生群体变化、考生水平变化，北京卷在试题的文理合卷方面，遵循“入口易、口径宽，深入缓、出口难”的基本原则。通过优化试卷结构、精选试题素材、科学设计试题内容、创新试题设问方式、凸显试题发展功能等方面推进新高考的改革，打造高考数学命题新形态。
01
优化试卷结构，
推进文理合卷顺利实施
在保持测试时长和总分不变的前提下，北京卷优化试卷的结构，调整了选择题、填空题和解答题的数量和分值。选择题由原来的8道变为10道，填空题由原来的6道变为5道。增加了主观题的比例，主客观题目比值为1.3:1。通过加强对主观题的考查，为学生展现数学思维能力搭建了平台。
根据试题难度和要求，北京卷在试题的排列顺序上也有所变化。如首次将立体几何解答题放在解答题的第一题进行考查。这种尝试增强了试题灵活性，为引导教学、防止题型固化、命题方式固化起到积极的作用。
在试卷难度控制上，为了增强文科倾向考生在数学学习上的获得感，试题“入口易、口径宽”，中低难度试题的分值占有一定的比例；为了继续保持理科倾向考生在数学学习上的成就感，试题“深入缓、出口难”，没有降低综合创新题的难度，依然具有较强的挑战性，并保持了较好的区分度。
02
精选试题素材，
贴近学生的真实生活
北京卷试题素材的选取真实、自然、合理。如第15题通过以污水治理为背景设置题目，体现了十九大报告提出的“提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求；第18题通过活动方案支持度调查，体现了民主决策过程。材料源于社会、源于真实情境，考查学生分析和解决具有实际意义问题的能力。
03
科学设计试题内容，
回归数学本质和学生的基础
北京卷命题体现数学本质，遵循学生身心发展的规律。一是试题内容紧扣课标和教材，体现数学的本质，引导教学回归数学本质，回归学生的基础。如第10题根据教材中提到的“割圆术”的部分思想改编而成，第16、17题都是立体几何和三角部分的基础性问题。
二是试题具有丰富的问题梯度，符合学生的认知规律。如第12、13题，都是设置两空，第一空为第二空适当做铺垫。如第18题，学生在解决了第（1）问后，就会为第（2）问的解答提供基础和台阶。试卷通过“多问把关”“多题把关”等方式，为不同水平的考生搭建了施展才华的舞台。
04
创新试题呈现方式，
力求考出具有不同专业倾向
学生的真实水平
北京卷在试题上进行适度创新，增强试题的选择性和开放性。
一是设计条件或结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题。如第14题，要求学生给出满足条件的一个常数值，试题答案不唯一。学生需要根据已有的信息进行猜想、探究和推理，从而得出结论。
二是设计分层赋分试题。第15题污水治理问题，从不同角度设置了4个选项，其中3个是正确的。
三是设计了结构不良问题，需要学生自己选择适当的条件进行解决。如第17题的设问具有开放性，学生需要选择条件①或条件②，用余弦定理或正弦定理去求解三角形。两个问题需要的知识和方法有所不同，考查具有不同专业倾向的学生真实水平。
05
凸显试题的价值功能，
为学生的终身发展打基础
北京卷的命题，不仅体现人才的选拔功能，而且还引导学生去探索，应用数学知识去解决职场与生活中的实际问题。如第18题，以学生熟悉的学校生活为背景来设计，重点考查抽样，样本估计总体，总体的概率推断。第（1）问考查“样本估计总体”的思想，现实生活中需要对总体做一些判断，比如两个男学生是否同时支持该方案的概率，或者更复杂的群体（如第（2）问中的群体）的支持度。除性别外，第（3）问考查不同年级的支持情况。作为校方，为了提高学生的支持度，需要加强对高年级的学生宣传和方案完善。问题引导学生积极参与到学校的各项活动和决策中，这为学生未来的职业发展奠定了基础。
高考具有发展性功能，北京卷在促进学生数学的可持续思考中起到重要的作用。第21题需要学生运用逆向思维、归纳、分类讨论、反证法、最小数原理等数学思考方法，并能用数学的语言逻辑，严谨地写出证明过程。考查学生的一般化和概括迁移能力，有助于引导学生从做题到做事，为未来进一步学习奠定良好的基础。
2021年是文理合卷的第一年，疫情给高考命题带来了新的问题和挑战。北京卷以立德树人为中心，着力于知识方法，能力素养，文化应用的考查，依据“入口易、口径宽，深入缓、出口难”“多问把关”“多题把关”等基本原则进行文理合卷的设计，形成了“一个中心，三个基本点，五条路径”的评价体系。
引导教学在六个方面“下功夫”，即“在主干知识的掌握上下功夫”“在数学学科本质的理解上下功夫”“在数学思想方法的领悟上下功夫”“在数学应用探究上下功夫”“在创新思维形成上下功夫”“在数学素养的养成上下功夫”。
导向中学对“四具备”人才的培养，即“具备自觉的数量观念的人”“具备严密推理逻辑的人”“具备高度抽象概括的人”“具备一丝不苟、精益求精作风的人”。
2021年数学学科高考命题落实新高考文理合卷要求、保持命题总体稳定的前提下，变中求稳，稳中求进，不忘教育初心，牢记高考改革的使命，引导中学遵循教育规律，助力学生德智体美劳的全面发展。
数学试卷的特点
2021年高考北京数学试卷整体上符合国家课程标准要求，结合北京市高中数学教学现状，知识要素覆盖全面，数学素养考查突出。与去年相比，在试卷结构、分数设置等方面有所调整，在题型分布、难度预设和梯度设计方面基本保持稳定。试题设计围绕高中数学的核心内容，重点知识重点考查，通性通法着力考查；围绕学生的学习和生活实际，考查数学知识的综合与应用，体现数学的文化及教育价值。
●保持稳定和连续性，稳中有进，适度创新
相比于去年，数学试卷总体稳定，有利于考生稳定心态，正常发挥；适度创新，有利于考查考生的实践能力和锲而不舍的精神。
相比于去年，数学试卷由两套试卷（文理各一套）调整为一套试卷，试题题型依然是选择题、填空题和解答题，每一部分题型的难度预设基本符合从易到难的分布。试题的表述形式简洁、规范，图文准确并相互匹配，呈现方式及作答方式坚持多样化，延续了北京数学试卷“大气、平和”的特点。
相比于去年，数学试卷在题量分布、分数设置等方面均有变化，调整了部分考查内容，出现了新颖的题目形式。例如选择题由8个小题，每题5分，调整为了10个小题，每题4分，总分保持不变；填空题由6个小题，调整为了5个小题，每题依然是5分，总分由30分降为25分；解答题依然是6个小题，但总分由80分提升为85分。在考查内容上有所调整，删减了一些历年常考的内容，如线性规划、算法和程序框图、参数方程和极坐标等。在题目呈现上出现了一些新的变化，用以区分不同能力水平的学生。例如第（17）题难度并不大，但思维的自由度较大，由考生自行选择设计问题并解答，凸显考生分析和解决问题的能力。
●坚持考查基础知识和基本技能，夯实基础，强调综合
整份试卷注重对基础知识和基本方法的考查，主干内容重点考查。
例如，选择题的前5道题和填空题前3道题，涉及内容都是基础知识和基本方法，考查了集合、复数、二项式定理、三视图、两点间的距离公式、函数定义域、双曲线的性质、平面向量等内容。
在试题设计上，这些试题涉及的知识点相对较少、思维相对简单，易于解答。在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现了对数学知识考查的全面性、基础性和综合性，在解答题中重点考查了立体几何、三角函数、概率统计、导数、直线与圆锥曲线、数列综合等主干内容。解答题的前2道题，表述简单明确，集中考查立体几何和解三角形的主干知识及核心概念。再例如第（18）题，情境熟悉，问题清楚，重点考查读题、读表、计算等基本技能及方法。
●坚持考查数学方法及数学本质，能力立意，凸显数学素养
试卷突出了数学学科素养，在关注考生未来发展的同时，以能力立意，强调了数学方法和数学本质的考查，在选拔功能等方面都作了精心设计。
例如，第（6）题表面上是解不等式，实质是在考查基本初等函数的图像，有助于学生建立形与数的联系，加深对事物本质和发展规律的理解和认知，体现了直观想象核心素养；第（18）题的解决需要学生分析数据，从数据中获得有用信息并形成数学模型，注重了对公民应具备的基本数学素养——数据分析的考查；第（20）题考查了解析几何中的主要方法，需要学生具备一定的数学运算核心素养，并能够程序化思考问题；第（21）题是以数列知识为背景的创新问题，梯度明显，重点考查了学生的逻辑推理素养，对学生有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和数学交流能力有一定的要求。此外，从第（18）题到第（21）题，虽然每道题都考查了数学的主干知识和主要方法，入口也很容易，但其出口并不简单，试题在让不同层次的学生均有所获得同时，进行多题把关，体现了试题的选拔功能。
●重视数学应用，渗透数学文化，体现数学价值
应用问题在素材选取上，源于社会实际和学生的真实生活，考查学生数学应用素养、理性思维素养，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。
例如第（15）题，以环保部门要求相关企业加强污水处理，排放未达标的企业要限期整改这个情境为载体，贴近生活，是对数学学习后所沉淀下来的素养的考查，要求考生能够在短时间内审清题意，理清解决问题的思路，建立适当的数学模型来解决问题，体现试题的教育价值。例如第（10）题，以2021年3月14日全球首个国际圆周率日为背景，结合中国优秀传统数学文化中的“割圆术”及近代数学史上西方的阿尔·卡西法，感悟数学“近似计算”之美，将美育教育融入数学教育。引导学生关注世界，学习世界灿烂的数学文化。例如第（18）题，以学生身边的两项活动方案来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关。这类问题重点考查数据处理能力，也增强学生用数据表述及解决现实问题的意识。
纵观整份试卷，在突出基本知识、基本技能和基本思想方法考查的同时，突出考查学生的数学素养，展现数学的应用价值。保持了北京试卷综合、灵活的特色，变中求稳，稳中求进，给不同能力水平的学生提供了展示的平台，对今后的数学教学起到了积极的引导作用。
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